Question

15．已知函数$f（x）=\frac{lnx}{1+x}-lnx$在x=x₀处取得最大值，给出下列5个式子：
①f（x₀）＜x₀，②f（x₀）=x₀，③f（x₀）＞x₀，④$f（{x_0}）＜\frac{1}{2}$，⑤$f（{x_0}）＞\frac{1}{2}$．则其中正确式子的序号为（　　）

• A． ①和④
• B． ②和④
• C． ②和⑤
• D． ③和⑤

Answer 1

分析 求函数的定义域和函数的导数，研究函数单调性和极值，利用极值、最值的关系确定f（x₀）的值，进行判断即可．

解答 解：函数的定义域为（0，+∞），f（x）=（-$\frac{x}{x+1}$）lnx，
函数的导数f′（x）=（-$\frac{x}{x+1}$）′lnx-$\frac{x}{x+1}$•$\frac{1}{x}$=$\frac{-lnx-x-1}{（x+1）^{2}}$，
设h（x）=-lnx-x-1，
则h′（x）=$\frac{-1-x}{x}$，则当x＞0时，h′（x）＜0，即h（x）在（0，+∞）上为减函数，
∵h（1）＜-1-1=-2＜0，当x→0时，h（x）＞0，
∴在（0，1）内函数h（x）有唯一的零点x₀，即h（x₀）=-lnx₀-x₀-1=0，
即lnx₀=-1-x₀，
当0＜x＜x₀，f′（x）＞0，当x＞x₀，f′（x）＜0，即函数f（x）在x=x₀处取得最大值，
即f（x₀）=（-$\frac{{x}_{0}}{{x}_{0}+1}$）•lnx₀=（-$\frac{{x}_{0}}{{x}_{0}+1}$）•（-1-x₀）=x₀，②正确；
∵h（$\frac{1}{2}$）=-ln$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}-1$=ln2-$\frac{3}{2}$＜0，
∴0＜x₀＜$\frac{1}{2}$，∴$f（{x_0}）＜\frac{1}{2}$，
故选：B．

点评 本题主要考查命题的真假判断涉及函数的单调性，极值，最值与导数之间的关系，综合性较强，运算量较大．