Question

3．已知点P（-1，1）在椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上，c为椭圆的半焦距，且c=$\sqrt{2}$b．过点P作两条互相垂直的直线l₁、l₂与椭圆C分别交于另两点M，N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程．

Answer 1

分析 （1）由条件得$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$，且c²=2b²，a²=3b²，解出即可得出．
（2）解法1：若直线l₁斜率为0，则直线l₂斜率不存在，可得所求直线MN的方程为x+y=0；同理可得，当直线l₂斜率为0，直线l₁斜率不存在时，所求直线MN的方程为x+y=0．若直线l₁斜率存在且不为0，设l₁方程为y+1=k（x+1），与椭圆方程联立可得：（1+3k²）x²+6k（k-1）x+3（k-1）²-4=0．解得M，N坐标，根据线段MN中点在x轴上，解得k即可得出．
解法2：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则${x_1}^2+3{y_1}^2=4，{x_2}^2+3{y_2}^2=4$，两式相减得根据线段MN的中点在x轴上，可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0． 分类讨论，利用相互垂直与数量积的关系即可得出．

解答 解：（1）由条件得$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$，且c²=2b²，
∴a²=3b²，解得${b^2}=\frac{4}{3}$，a²=4． 
∴椭圆方程为：$\frac{x^2}{4}+\frac{{3{y^2}}}{4}=1$．
（2）解法1：若直线l₁斜率为0，则直线l₂斜率不存在，此时M（1，-1），N（-1，1），满足两点连线段中点在x轴上，所求直线MN的方程为x+y=0；
同理可得，当直线l₂斜率为0，直线l₁斜率不存在时，所求直线MN的方程为x+y=0．
若直线l₁斜率存在且不为0，设l₁方程为y+1=k（x+1），
联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+k-1\\{x^2}+3{y^2}=4\end{array}\right.$，消去y得（1+3k²）x²+6k（k-1）x+3（k-1）²-4=0．
∵P为（-1，-1），解得$M（\frac{{-3{k^2}+6k+1}}{{1+3{k^2}}}，\frac{{3{k^2}+2k-1}}{{1+3{k^2}}}）$，
用$-\frac{1}{k}$代替k，得$N（\frac{{{k^2}-6k-3}}{{{k^2}+3}}，\frac{{-{k^2}-2k+3}}{{{k^2}+3}}）$．
∵线段MN中点在x轴上，则$\frac{{3{k^2}+2k-1}}{{1+3{k^2}}}+\frac{{-{k^2}-2k+3}}{{{k^2}+3}}=0$，
整理得：k³-4k²-k=0，∵k≠0，解得$k=2±\sqrt{5}$．
此时$M（{-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{5}}}{2}}），N（{-\frac{1}{2}，-\frac{{\sqrt{5}}}{2}}）$，或者$M（{-\frac{1}{2}，-\frac{{\sqrt{5}}}{2}}），N（{-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{5}}}{2}}）$．
所求直线MN的方程为$x=-\frac{1}{2}$．
综上可得，所求直线MN的方程为x+y=0或者$x=-\frac{1}{2}$．
解法2：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则${x_1}^2+3{y_1}^2=4，{x_2}^2+3{y_2}^2=4$，
两式相减得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+3（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0．
∵线段MN的中点在x轴上，∴y₁+y₂=0，从而可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0． 
若x₁+x₂=0，则N（-x₁，-y₁）．
∵PM⊥PN，∴$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}=0$，得${x_1}^2+{y_1}^2=2$．
又∵${x_1}^2+3{y_1}^2=4$，∴解得x₁=±1，
∴M（-1，1），N（1，-1）或M（1，-1），N（-1，1）．
∴直线MN的方程为y=-x．  
若x₁-x₂=0，则N（x₁，-y₁），
∵PM⊥PN，∴$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}=0$，得${y_1}^2={（{x_1}+1）^2}+1$．
又∵${x_1}^2+3{y_1}^2=4$，∴解得${x_1}=-\frac{1}{2}$或-1，
经检验：${x_1}=-\frac{1}{2}$满足条件，x₁=-1不满足条件．
综上，直线MN的方程为x+y=0或$x=-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为一元二次方程的根与系数的关系、向量垂直与数列解得关系、中点坐标公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．