Question

9．如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE-BCF和一个正四棱锥P-ABCD组合而成，AD⊥AF，AE=AD=2．
（1）证明：平面PAD⊥平面ABFE；
（2）当正四棱锥P-ABCD的高为1时，求几何体E-PAB的体积．

Answer 1

分析 （1）证明：AD⊥平面ABFE，即可证明平面PAD⊥平面ABFE；
（2）利用等体积的方法，求几何体E-PAB的体积．

解答 （1）证明：直三棱柱ADE-BCF中，AB⊥平面ADE，
所以AB⊥AD，又AD⊥AF，
所以AD⊥平面ABFE，AD?平面PAD，
所以平面PAD⊥平面ABFE．
（2）解：由（1）AD⊥平面ABFE，
取AC中点O，连接PO，则PO为正四棱锥的高，PO=1，
过点P向平面ABEF引垂线，垂足为H，取AB中点M，连接OM，HM，
因为AB=2，则四边形PHMO为正方形，所以PH=1．
所以${V_{E-PAB}}={V_{P-ABE}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×1=\frac{2}{3}$．
所以，几何体E-PAB的体积为$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查空间面面垂直的判断以及几何体E-PAB的体积的求解，正确利用等体积的方法是关键．