Question

19．已知函数f（x）=（x-a-1）e^x：
（Ⅰ）若函数的最小值为-1，求实数a的值；
（Ⅱ）若x₁＞x₂，且有x₁+x₂=2a，求证：f（x₁）＞f（x₂）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的Ⅰ就，求出函数的最小值，从而求出a的值；
（Ⅱ）构造函数g（x）=（x-a-1）e^x-（a-x-1）e^2a-x，x＞a，求出函数的单调性，从而证出结论．

解答 解：（Ⅰ）定义域为 R，
因为f'（x）=（x-a）e^x，令f'（x）=0，得x=a
当x变化时，f'（x），f（x）变化如下表：

x	（-∞，a）	a	（a，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	单调递减	极小值	单调递增

所以x=a是函数f（x）极小值点，也是最小值点，
所以f（a）=-e^a=-1，解得a=0；
（Ⅱ）证明：由题可知x₁＞a，并且有x₂=2a-x₁，$f（{x_1}）-f（{x_2}）=（{x_1}-a-1）{e^{x_1}}-（a-{x_1}-1）{e^{2a-{x_1}}}$，
记g（x）=（x-a-1）e^x-（a-x-1）e^2a-xx＞a，g'（x）=（x-a）（e^x-e^2a-x），
当x＞a时，e^x＞e^2a-x，即g'（x）＞0，
所以g（x）在区间（a，+∞）上单调递增，g（x）＞g（a）=0
所以有f（x₁）＞f（x₂），结论成立．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．