Question

8．如图，抛物线y=-x²+4交x轴于A，B两点，顶点为C
（1）求△ABC的面积；
（2）在抛物线上求点P，使S_△PAB=$\frac{1}{2}$S_△ABC；
（3）抛物线y=-x²+4上是否存在点Q，使∠AQB=90°若存在，求出该点；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）求得A，B，C的坐标，运用三角形的面积公式计算即可得到所求值；
（2）设P（m，4-m²），由S_△PAB=$\frac{1}{2}$S_△ABC，运用面积公式，计算即可得到P的坐标；
（3）假设抛物线y=-x²+4上存在点Q（n，4-n²），使∠AQB=90°．即有k_AQ•k_BQ=-1，运用直线的斜率公式，解方程可得Q的坐标，即可判断存在．

解答 解：（1）由题意可得A（2，0），B（-2，0），C（0，4），
则△ABC的面积为$\frac{1}{2}$×4×4=8；
（2）设P（m，4-m²），由S_△PAB=$\frac{1}{2}$S_△ABC，可得：
$\frac{1}{2}$×4|4-m²|=$\frac{1}{2}$×8，
解得m=±$\sqrt{2}$或±$\sqrt{6}$，
即有P（±$\sqrt{2}$，2）或（±$\sqrt{6}$，-2）；
（3）假设抛物线y=-x²+4上存在点Q（n，4-n²），使∠AQB=90°．
即有k_AQ•k_BQ=-1，
即为$\frac{4-{n}^{2}}{n-2}$•$\frac{4-{n}^{2}}{n+2}$=-1，
由n≠2，且n≠-2，可得4-n²=1，
解得n=±$\sqrt{3}$，
故存在Q，且Q（-$\sqrt{3}$，1），或（$\sqrt{3}$，1），使∠AQB=90°．

点评 本题考查抛物线的方程和性质及运用，考查三角形的面积的求法，以及两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查化简整理的运算能力，属于基础题．