Question

18．设四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，且PA⊥面ABCD，PA=AB，E为PD的中点．
（1）求证：直线PD⊥平面AEB；
（2）若直线PC交平面AEB于点F，求直线BF与平面PCD所成的角．

Answer 1

分析 （1）证明：PD⊥AE，PD⊥AB，利用线面垂直的判定定理证明直线PD⊥平面AEB；
（2）以A为坐标原点，建立坐标系，利用向量方法求直线BF与平面PCD所成的角．

解答 （1）证明：∵PA=AB=AD，E为PD的中点，
∴PD⊥AE．
又PA⊥面ABCD，底面ABCD是正方形，
∴AB⊥面PAD，则PD⊥AB
∵AB∩AE=A，∴直线PD⊥平面AEB  …（4分）
（2）解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
∵CD⊥面PAD，∴AE⊥CD，且AE⊥PD
∵CD∩PD=D，∴AE⊥平面PCD，
即$\overrightarrow{AE}$为平面PCD的法向量，$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．…（6分）
∵AB∥CD，AB∥平面PCD，平面AEB∩平面AEFB=EF
∴EF∥AB∥CD，
又E为PD的中点，∴F为PC的中点．…（8分）
∵B（1，0，0），F（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{FB}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），．
设直线BF与平面PCD所成的角θ，
∴sinθ=|$\frac{-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}•\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}}$|=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
则直线BF与平面PCD所成的角为arcsin$\frac{\sqrt{6}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的判定，考查线面角，考查向量方法的运用，正确运用向量夹角公式是关键．