Question

12．设f（x）=|x+2|+|2x-1|-m．
（I）当m=5时，解不等式f（x）≥0；
（Ⅱ）若f（x）≥$\frac{3}{2}$对于x∈R恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （I）当m=5时，运用去绝对值的方法，讨论当x≥$\frac{1}{2}$时，当x≤-2时，当-2＜x＜$\frac{1}{2}$时，分别解不等式，最后求并集，即可得到所求解集；
（Ⅱ）由题意可得|x+2|+|2x-1|≥m+$\frac{3}{2}$恒成立，运用分类讨论的思想求得|x+2|+|2x-1|的最小值，即可得到m的范围．

解答 解：（I）当m=5时，不等式f（x）≥0，即为
|x+2|+|2x-1|≥5，
当x≥$\frac{1}{2}$时，不等式即为x+2+2x-1≥5，
即有x≥$\frac{4}{3}$；
当x≤-2时，不等式即为-x-2+1-2x≥5，
即有x≤-2；
当-2＜x＜$\frac{1}{2}$时，不等式即为x+2+1-2x≥5，
即有x≤-2，则x∈∅．
综上可得原不等式的解集为{x|x≤-2或x≥$\frac{4}{3}$}；
（Ⅱ）f（x）≥$\frac{3}{2}$对于x∈R恒成立，
即有|x+2|+|2x-1|≥m+$\frac{3}{2}$恒成立，
当x≥$\frac{1}{2}$时，|x+2|+|2x-1|=x+2+2x-1=3x+1≥$\frac{5}{2}$；
当x≤-2时，|x+2|+|2x-1|=-x-2+1-2x=-1-3x≥5；
当-2＜x＜$\frac{1}{2}$时，|x+2|+|2x-1|=x+2+1-2x=3-x∈（$\frac{5}{2}$，5）．
则|x+2|+|2x-1|的最小值为$\frac{5}{2}$，
即有m+$\frac{3}{2}$≤$\frac{5}{2}$，即为m≤1．
则m的取值范围是（-∞，1]．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论，考查不等式恒成立问题的解法，运用参数分离和含绝对值函数最值的求法，属于中档题．