Question

7．已知集合A={x|y=$\sqrt{-{x}^{2}+5x-6}$}，函数g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x（x≥-2）的值域为B．
（1）求（∁_RA）∩B；
（2）若C={x|a＜x≤2a-2}，且A∩C=C，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求解函数的定义域及值域化简集合A，B．
（1）直接由补集及交集运算得答案；
（2）由A∩C=C，得C⊆A，然后分C=∅和C≠∅列式计算实数a的取值范围．

解答 解：由-x²+5x-6≥0，得2≤x≤3，
∴A={x|y=$\sqrt{-{x}^{2}+5x-6}$}=[2，3]，
当x≥-2时，0$＜（\frac{1}{2}）^{x}≤4$，
∴B=（0，4]．
（1）由A=[2，3]，得∁_RA=（-∞，2）∪（3，+∞），又B=（0，4]，
∴（∁_RA）∩B=（0，2）∪（3，4]；
（2）由A∩C=C，得C⊆A，
当a≥2a-2，即a≤2时，C=∅，满足C⊆A；
当a＞2时，要使C⊆A，则$\left\{\begin{array}{l}{a≥2}\\{2a-2≤3}\end{array}\right.$，∴2$＜a≤\frac{5}{2}$．
综上，实数a的取值范围是（-∞，$\frac{5}{2}$]．

点评 本题考查交、并、补集的混合运算，考查了函数的定义域及值域的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．