Question

如图，直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别是AB，BB₁的中点，AA1=AC=CB=

2

2

AB=2．
（1）证明：DC⊥DE；
（2）求三棱锥C-A₁DE的体积．

Answer 1

分析：（1）由韦达定理可得△ABC为等腰直角三角形，进而可得CD⊥AB，结合直棱柱的特征可得CD⊥AA₁，结合线面垂直的判定定理可得CD⊥面A₁ABB₁，进而由线面垂直的定义可得DC⊥DE；
（2）由（1）可得CD⊥面A₁ABB₁，即CD为棱锥的高，求出三角形△A₁DE的面积后，代入棱锥的体积公式，可得三棱锥C-A₁DE的体积．

解答：证明：（1）由AC=CB=

2

2

AB，
AC²+CB²=AB²
故△ABC为等腰直角三角形
又由D是AB的中点，
知CD⊥AB，
又∵直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，CD?平面ABC，
∴CD⊥AA₁，
又∵AB，AA₁?面A₁ABB₁，AB∩AA₁=A
∴CD⊥面A₁ABB₁，
又∵DE?面A₁ABB₁，
故DC⊥DE；
（2）由（1）知CD⊥面A₁ABB₁，且CD=

2

在Rt△A₁AD中，AA₁=2，AD=

2

，
故A₁D=

6

在Rt△BDE中，BE=1，BD=

2

，
故DE=

3

Rt△A₁B₁E中，A₁B₁=2

2

，B₁E=1
故A₁E=3
∵A1E2=A1D2+DE2
故三角形△A₁DE为直角三角形
故VC-A1DE=

1

3

•CD•

1

2

•A1D•DE=

1

3

•

2

•

1

2

•

6

•

3

=1．

点评：本题考查的知识点是线面垂直的判定定理及性质，棱锥的体积，其中证明出直线CD⊥面A₁ABB₁，是解答的关键．