Question

如图，直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别是AB，BB₁的中点，AA₁=AC=CB=

2

2

AB．
（Ⅰ）证明：BC₁∥平面A₁CD
（Ⅱ）求二面角D-A₁C-E的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过证明BC₁平行平面A₁CD内的直线DF，利用直线与平面平行的判定定理证明BC₁∥平面A₁CD
（Ⅱ）证明DE⊥平面A₁DC，作出二面角D-A₁C-E的平面角，然后求解二面角平面角的正弦值即可．

解答：解：（Ⅰ）证明：连结AC₁交A₁C于点F，则F为AC₁的中点，
又D是AB中点，连结DF，则BC₁∥DF，
因为DF?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD，
所以BC₁∥平面A₁CD．
（Ⅱ）因为直棱柱ABC-A₁B₁C₁，所以AA₁⊥CD，
由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB，
又AA₁∩AB=A，于是，CD⊥平面ABB₁A₁，
设AB=2

2

，则AA₁=AC=CB=2，得∠ACB=90°，
CD=

2

，A₁D=

6

，DE=

3

，A₁E=3
故A₁D²+DE²=A₁E²，即DE⊥A₁D，所以DE⊥平面A₁DC，
又A₁C=2

2

，过D作DF⊥A₁C于F，∠DFE为二面角D-A₁C-E的平面角，
在△A₁DC中，DF=

A1D•DC

A1C

=

6

2

，EF=

DE2+DF2

=

3 2

2

，
所以二面角D-A₁C-E的正弦值．sin∠DFE=

DE

EF

=

6

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力与计算能力．