Question

如图，直棱柱ABC-中，D，E分别是AB，BB1的中点，=AC=CB=AB.

（Ⅰ）证明： //平面；

（Ⅱ）求二面角D--E的正弦值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）连结，交于点O，连结DO，则O为的中点，因为D为AB的中点，所以

OD∥，又因为OD平面，平面，所以 //平面；

（Ⅱ）由=AC=CB=AB可设：AB=，则=AC=CB=，所以AC⊥BC，又因为直棱柱，所以以点C为坐标原点，分别以直线CA、CB、为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图，

则、、、，，，，，设平面的法向量为，则且，可解得，令，得平面的一个法向量为，同理可得平面的一个法向量为，则，所以，所以二面角D--E的正弦值为.

本题第（Ⅰ）问，证明直线与平面平行,主要应用线面平行的判定定理，一般情况下，遇到中点想中位线的思想要用上，同时用上侧面为平行四边形的条件；第（Ⅱ）问，求二面角的大小，若图形中容易建立空间直角坐标系，则就求两个半平面的法向量，从需得出结果.对第（Ⅰ）问，证明线面平行时,容易漏掉条件；对第（Ⅱ）问，二面角的大小与两个法向量夹角相等或互补的关系，一部分同学容易得出它们相等.

【考点定位】本小题考查空间中直线与平面平行等位置关系的证明、二面角的求解，考查同学们的逻辑推理能力、空间想象能力，考查分析问题以及解决问题的能力.