Question

如图，直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别是AB，BB₁的中点，AA₁=AC=CB=

2

2

AB．
（1）证明：DC⊥DE；
（2）求EC与平面A₁DC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）证明CD⊥AB，CD⊥AA₁，可得CD⊥面A₁ABB₁，从而可得DC⊥DE；
（2）证明DE⊥面A₁DC，可得所求角的平面角为∠ECD，从而可求EC与平面A₁DC所成角的正弦值．

解答：（1）证明：由AC=CB=

2

2

AB，知CD⊥AB，
又直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D分别是AB的中点，
所以CD⊥AA₁，
因为AA₁∩AB=A，
所以CD⊥面A₁ABB₁，
因为DE?面A₁ABB₁，
所以DC⊥DE；
（2）解：设AA₁=2a，则可得A1D=

6

a，DE=

3

a，A₁E=3a，
所以A1E2=A1D2+DE2，
故A₁D⊥DE，
又由（1）得DC⊥DE，A₁D∩DC=D，
所以DE⊥面A₁DC，故所求角的平面角为∠ECD，
故sin∠ECD=

DE

CE

=

3 a

5 a

=

15

5

．

点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，正确运用线面垂直的判定定理是关键．