Question

【题目】已知正三角形ABC边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为 ，此时四面体ABCD的外接球的表面积为 ．

Answer 1

【答案】7π
【解析】解：根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，
三棱柱ABC﹣A1B1C1的中，底面边长为1，1， ，
由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，
∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心为O，外接球的半径为r，
棱柱的高为 ，球心到底面的距离为 ，
三棱柱中，底面△BDC，BD=CD=1，BC= ，∴∠BDC=120°，∴△BDC的外接圆的半径为： =1
∴球的半径为r= = ．
外接球的表面积为：4πr2=7π．
故答案为：7π．
三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积．