Question

2．5个同学排成一横排照相．
（1）某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种？
（2）甲、乙必须相邻的排法有多少种？
（3）甲、乙不能相邻的排法有多少种？

Answer 1

分析 （1）根据题意，假设5个人分别对应5个空位，甲不排在排头也不排在排尾，有3个位置可选；而其他4人对应其他4个位置，对其全排列，可得其排法数目，由分步计数原理计算可得答案；
（2）采用捆绑法．先排甲、乙，再与其他3名同学排列，问题得以解决．
（2）采用插空法，先排其余的3名同学，出现4个空位，将甲、乙插在空位中，问题得以解决．

解答 解：（1）假设5个人分别对应5个空位，甲不排在排头也不排在排尾，有3个位置可选；
则其他4人对应其他4个位置，有A₄⁴=24种情况，
则不同排列方法种数3×24=72种；
（2）分2步进行分析：
①、将甲乙看成一个整体，考虑甲乙之间的顺序，有A₂²=2种情况；
②、将这个整体与其他3名同学排列，有A₄⁴=24种情况；
则甲、乙必须相邻的排法有2×24=48种；
（3）分2步进行分析：
①、将除甲乙之外的3人全排列，有A₃³=6种顺序，排好后有4个空位，
②、在4个空位中任选2个，安排甲乙，有A₄²=12种情况，
则甲、乙不能相邻的排法有4×12=48种．

点评 本题考查排列、组合的运用，注意常见问题的处理方法，如相邻问题与不能相邻问题．