Question

17．已知正项等比数列{a_n}满足a₂₀₁₇=2a₂₀₁₆+3a₂₀₁₅，若存在不同的两项a_p，a_m使得$\sqrt{{a_p}•{a_m}}=3\sqrt{3}•{a_1}$，则$\frac{1}{m}+\frac{4}{p}$的最小值是$\frac{11}{6}$．

Answer 1

分析 设正项等比数列{a_n}的公比为q＞0．由a₂₀₁₇=2a₂₀₁₆+3a₂₀₁₅，可得${a}_{2015}{q}^{2}$=a₂₀₁₅（2q+3），解得q=3．存在不同的两项a_p，a_m使得$\sqrt{{a_p}•{a_m}}=3\sqrt{3}•{a_1}$，代入$\sqrt{{a}_{1}^{2}{3}^{p+m-2}}$=$3\sqrt{3}$a₁，解得p+m=5．可得（p，m）的取值为：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）．代入验证即可得出．

解答 解：设正项等比数列{a_n}的公比为q＞0．
∵a₂₀₁₇=2a₂₀₁₆+3a₂₀₁₅，∴${a}_{2015}{q}^{2}$=a₂₀₁₅（2q+3），可得q²-2q-3=0，解得q=3．
∵存在不同的两项a_p，a_m使得$\sqrt{{a_p}•{a_m}}=3\sqrt{3}•{a_1}$，
∴$\sqrt{{a}_{1}^{2}{3}^{p+m-2}}$=$3\sqrt{3}$a₁，解得p+m=5．
∴（p，m）的取值为：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）．
则$\frac{1}{m}+\frac{4}{p}$的最小值是$\frac{1}{2}+\frac{4}{3}$=$\frac{11}{6}$．
故答案为：$\frac{11}{6}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其性质、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．