Question

(本小题15分)
已知函数。
（I）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当函数在区间上的最小值为时，求实数的值；
（Ⅲ）若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围。

Answer 1

（I）因为，由题意   （2分）
  即过点的切线斜率为3，又点
则过点的切线方程为： （5分）
（Ⅱ）右题意令得或 （6分）
由，要使函数在区间上的最小值为，则
（i）当时，
当时，，当时，，
所以函数在区间[0，1]上，
即：，舍去   （8分）
（ii）当时，
当时，，则使函数在区间上单调递减，
 
综上所述：                  (10分)
（Ⅲ）设

令得或    （11分）
（i）当时，函数单调递增，函数与的图象不可能有三个不同的交点
（ii）当时，随的变化情况如下表：

				1
	+	0	一	0	+
		极大		极小

欲使与图象有三个不同的交点，
方程，也即有三个不同的实根
，所以  （13分）
（iii）当时，随的变化情况如下表：

		1
	+	0	一	0	+
		极大		极小

由于极大值恒成立，故此时不能有三个解
综上所述        （15分）

略