Question

【题目】某生态公园的平面图呈长方形（如图），已知生态公园的长AB=8（km），宽AD=4（km），M，N分别为长方形ABCD边AD，DC的中点，P，Q为长方形ABCD边AB，BC（不含端点）上的一点．现公园管理处拟修建观光车道P﹣Q﹣N﹣M﹣P，要求观光车道围成四边形（如图阴影部分）的面积为15（km2），设BP=x（km），BQ=y（km），
（1）试写出y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；
（2）若B为公园入口，P，Q为观光车站，观光车站P位于线段AB靠近入口B的一侧．经测算，每天由B入口至观光车站P，Q乘坐观光车的游客数量相等，均为1万人，问如何确定观光车站P，Q的位置，使所有游客步行距离之和最大，并求出最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵M，N是AD，CD的中点，AB=8，AD=4，BP=x，BQ=y，

∴S△AMP= =8﹣x，S△DMN= =4，S△NCQ= =8﹣2y，S△BPQ= ，

∵观光车道围成四边形（如图阴影部分）的面积为15（km2），

∴8﹣x+4+8﹣2y+ xy=4×8﹣15=17，

∴y= = ．

令0＜y＜4，即0＜ ＜4，解得0＜x＜3或5＜x＜8．

（2）解：由题意可知0＜x＜3，

∴x+y=x+ =x+2﹣ ，

令f（x）=x+2﹣ ，则f′（x）=1﹣ ，

令f′（x）=0得x=4﹣ ，

∴当0＜x 时．f′（x）＞0，当4﹣ ＜x＜3时，f′（x）＜0，

∴f（x）在（0，4﹣ ）上单调递增，在（4﹣ ，3）上单调递减，

∴当x=4﹣ 时，f（x）取得最大值6﹣2 ．

∴所有游客的步行距离之和的最大值为20000×（6﹣2 ）=40000（3﹣ ）km．

【解析】（1）根据面积列方程得出y关于x的解析式；（2）利用导数求出x+y的最大值，从而得出步行距离之和的最大值．