【题目】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足(2b﹣c)cosA﹣acosC=0.
(1)求角A的大小;
(2)若a=4,求△ABC周长的取值范围.
【答案】
(1)解:将(2b﹣c)cosA=acosC代入正弦定理得:
(2sinB﹣sinC)cosA=sinAcosC,
即2sinBcosA=sinCcosA+cosCsinA=sin(A+C)=sinB,
由B∈(0,180°),得到sinB≠0,
所以cosA= ,又A∈(0,180°),
则A的度数为60°
(2)解:由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA,可得:b2+c2﹣bc=(b+c)2﹣3bc=16,
bc≤( )2,当且仅当b=c=4时等号成立,
∴16=(b+c)2﹣3bc≥=(b+c)2﹣3( )2=
(b+c)2,
∴b+c≤8,
∵b+c>4,
∴△ABC的周长取值范围为:(8,12]
【解析】(1)利用正弦定理化简已知的等式,再利用两角和的正弦函数公式及诱导公式化简,根据sinB不为0,得到cosA的值,由A的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数.(2)利用余弦定理,基本不等式,三角形两边之和大于第三边即可得解△ABC周长的取值范围.
【考点精析】掌握正弦定理的定义和余弦定理的定义是解答本题的根本,需要知道正弦定理:;余弦定理:
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【题目】已知f(x)=2x2+bx+c,不等式f(x)<0的解集为(0,5).
(1)求b,c的值;
(2)若对任意x∈[﹣1,1],不等式f(x)+t≤2恒成立,求t的取值范围.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,点P是圆O:x2+y2=1与x轴正半轴的交点,半径OA在x轴的上方,现将半径OA绕原点O逆时针旋转 得到半径OB.设∠POA=x(0<x<π),
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(1)若 ,求点B的坐标;
(2)求函数f(x)的最小值,并求此时x的值.
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【题目】已知直线l1:x﹣2y+3=0和l2:x+2y﹣9=0的交点为A.
(1)求过点A,且与直线2x+3y﹣1=0平行的直线方程;
(2)求过点A,且倾斜角为直线l1倾斜角2倍的直线方程.
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【题目】设数列{an}的前n项和为Sn , 且an=2﹣2Sn , 数列{bn}为等差数列,且b5=14,b7=20.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若cn=anbn , n∈N* , 求数列{cn}的前n项和Tn .
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【题目】已知全集U为R,集合A={x|x2<4},B= (x﹣2)},则下列关系正确的是( )
A.A∪B=R
B.A∪(∪B)=R
C.(∪A)∪B=R
D.A∩(∪B)=A
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【题目】某生态公园的平面图呈长方形(如图),已知生态公园的长AB=8(km),宽AD=4(km),M,N分别为长方形ABCD边AD,DC的中点,P,Q为长方形ABCD边AB,BC(不含端点)上的一点.现公园管理处拟修建观光车道P﹣Q﹣N﹣M﹣P,要求观光车道围成四边形(如图阴影部分)的面积为15(km2),设BP=x(km),BQ=y(km),
(1)试写出y关于x的函数关系式,并求出x的取值范围;
(2)若B为公园入口,P,Q为观光车站,观光车站P位于线段AB靠近入口B的一侧.经测算,每天由B入口至观光车站P,Q乘坐观光车的游客数量相等,均为1万人,问如何确定观光车站P,Q的位置,使所有游客步行距离之和最大,并求出最大值.
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【题目】某商场在一部向下运行的手扶电梯终点的正上方竖直悬挂一幅广告画.如图,该电梯的高AB为4米,它所占水平地面的长AC为8米.该广告画最高点E到地面的距离为10.5米.最低点D到地面的距离6.5米.假设某人的眼睛到脚底的距离MN为1.5米,他竖直站在此电梯上观看DE的视角为θ.
(1)设此人到直线EC的距离为x米,试用x表示点M到地面的距离;
(2)此人到直线EC的距离为多少米,视角θ最大?
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【题目】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的最下正周期为π,且点P(
,2)是该函数图象的一个人最高点.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若x∈[﹣ ,0],求函数y=f(x)的值域;
(3)把函数y=f(x)的图线向右平移θ(0<θ< )个单位,得到函数y=g(x)在[0,
]上是单调增函数,求θ的取值范围.
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