Question

【题目】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（2b﹣c）cosA﹣acosC=0．
（1）求角A的大小；
（2）若a=4，求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：将（2b﹣c）cosA=acosC代入正弦定理得：

（2sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC，

即2sinBcosA=sinCcosA+cosCsinA=sin（A+C）=sinB，

由B∈（0，180°），得到sinB≠0，

所以cosA= ，又A∈（0，180°），

则A的度数为60°

（2）解：由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=16，

bc≤（ ）2，当且仅当b=c=4时等号成立，

∴16=（b+c）2﹣3bc≥=（b+c）2﹣3（ ）2= （b+c）2，

∴b+c≤8，

∵b+c＞4，

∴△ABC的周长取值范围为：（8，12]

【解析】（1）利用正弦定理化简已知的等式，再利用两角和的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinB不为0，得到cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．（2）利用余弦定理，基本不等式，三角形两边之和大于第三边即可得解△ABC周长的取值范围．
【考点精析】掌握正弦定理的定义和余弦定理的定义是解答本题的根本，需要知道正弦定理:；余弦定理:;;．