【题目】在平面直角坐标系xOy中,点P(x0,y0)在曲线y=x2(x>0)上.已知A(0,-1),,n∈N*.记直线APn的斜率为kn.
(1)若k1=2,求P1的坐标;
(2)若k1为偶数,求证:kn为偶数.
【答案】(1)(1,1)(2)详见解析
【解析】
试题(1)由两点间斜率公式得,解方程得P1的坐标(2)先求出kn=,再利用k1为偶数表示x0,设k1=2p(pN*),则x0=p±.最后利用二项式展开定理证明kn为偶数
试题解析:解:(1)因为k1=2,所以,
解得x0=1,y0=1,所以P1的坐标为(1,1).
(2)设k1=2p(pN*),即,
所以-2px0+1=0,所以x0=p±.
因为y0=x02,所以kn=
所以当x0=p+时,
kn=(p+)n+()n=(p+)n+(p-)n.
同理,当 x0=p-时,kn=(p+)n+(p-)n.
①当n=2m(mN*)时, kn=2,所以kn为偶数.
②当n=2m+1(mN)时,kn=2,所以kn为偶数.
综上, kn为偶数.
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【题目】某大型商场的空调在1月到5月的销售量与月份相关,得到的统计数据如下表:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销量(百台) | 0.6 | 0.8 | 1.2 | 1.6 | 1.8 |
(1)经分析发现1月到5月的销售量可用线性回归模型拟合该商场空调的月销量(百件)与月份之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程,并预测6月份该商场空调的销售量;
(2)若该商场的营销部对空调进行新一轮促销,对7月到12月有购买空调意愿的顾客进行问卷调查.假设该地拟购买空调的消费群体十分庞大,经过营销部调研机构对其中的500名顾客进行了一个抽样调查,得到如下一份频数表:
有购买意愿对应的月份 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
频数 | 60 | 80 | 120 | 130 | 80 | 30 |
现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名,再从这6人中随机抽取3人进行跟踪调查,求抽出的3人中恰好有2人是购买意愿的月份是12月的概率.
参考公式与数据:线性回归方程,其中,.
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【题目】植物园拟建一个多边形苗圃,苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙.现有两种方案:
方案① 多边形为直角三角形(),如图1所示,其中;
方案② 多边形为等腰梯形(),如图2所示,其中.
请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积,并从中确定使苗圃面积最大的方案.
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【题目】已知,分别是双曲线的左,右焦点,过点向一条渐近线作垂线,交双曲线右支于点,直线与轴交于点(,在轴同侧),连接,若的内切圆圆心恰好落在以为直径的圆上,则的大小为________;双曲线的离心率为________.
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【题目】“业务技能测试”是量化考核员工绩效等级的一项重要参考依据.某公司为量化考核员工绩效等级设计了A,B两套测试方案,现各抽取名员工参加A,B两套测试方案的预测试,统计成绩(满分分),得到如下频率分布表.
成绩频率 | |||||||
方案A | |||||||
方案B |
(1)从预测试成绩在的员工中随机抽取人,记参加方案A的人数为,求的最有可能的取值;
(2)由于方案A的预测试成绩更接近正态分布,该公司选择方案A进行业务技能测试.测试后,公司统计了若干部门测试的平均成绩与绩效等级优秀率,如下表所示:
根据数据绘制散点图,初步判断,选用作为回归方程.令,经计算得,,.
(ⅰ)若某部门测试的平均成绩为,则其绩效等级优秀率的预报值为多少?
(ⅱ)根据统计分析,大致认为各部门测试平均成绩,其中近似为样本平均数,近似为样本方差,求某个部门绩效等级优秀率不低于的概率为多少?
参考公式与数据:(1),,.
(2)线性回归方程中,,.
(3)若随机变量,则,,.
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【题目】已知数列{an}是单调递增的等差数列,a2+a4=14且a2﹣1,a3+1,a4+7成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列的前n项和为Sn.
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