【题目】已知数列{an}是单调递增的等差数列,a2+a4=14且a2﹣1,a3+1,a4+7成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列的前n项和为Sn.
【答案】(1)an=3+2(n﹣1)=2n+1,n∈N*;(2).
【解析】
(1)设数列{an}的公差为d,d>0,由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质,解方程可得公差和首项,进而得到所求通项公式;
(2)求得3(
),由数列的裂项相消求和,化简计算可得所求和.
解:(1)设数列{an}的公差为d,
由a2+a4=14,得2a3=14,即a3=7.
由a2﹣1,a3+1,a4+7成等比数列,得(a3+1)2=(a2﹣1)(a4+7),即(7+1)2=(6﹣d)(14+d),
解得d=2或d=﹣10.
又数列{an}是单调递增的等差数列,故d>0,则d=2,a1=3,
数列{an}的通项公式为an=3+2(n﹣1)=2n+1,n∈N*;
(2)3(
),
可得Sn=3()=3(
)
.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,点P(x0,y0)在曲线y=x2(x>0)上.已知A(0,-1),,n∈N*.记直线APn的斜率为kn.
(1)若k1=2,求P1的坐标;
(2)若k1为偶数,求证:kn为偶数.
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【题目】如图所示的几何体中,
和
均为以
为直角顶点的等腰直角三角形,
,
,
,
,
为
的中点.
(1)求证:;
(2)求二面角的大小;
(3)设为线段
上的动点,使得平面
平面
,求线段
的长.
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【题目】某公司为提高市场销售业绩,促进某产品的销售,随机调查了该产品的月销售单价(单位:元/件)及相应月销量
(单位:万件),对近5个月的月销售单价
和月销售量
的数据进行了统计,得到如下表数据:
月销售单价 | 9 | 10 | 11 | ||
月销售量 | 11 | 10 | 8 | 6 | 5 |
(Ⅰ)建立关于
的回归直线方程;
(Ⅱ)该公司开展促销活动,当该产品月销售单价为7元/件时,其月销售量达到18万件,若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过万件,则认为所得到的回归直线方程是理想的,试问:(Ⅰ)中得到的回归直线方程是否理想?
(Ⅲ)根据(Ⅰ)的结果,若该产品成本是5元/件,月销售单价为何值时(销售单价不超过11元/件),公司月利润的预计值最大?
参考公式:回归直线方程,其中
,
.
参考数据:,
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【题目】为了检测生产线上某种零件的质量,从产品中随机抽取100个零件,测量其尺寸,得到如图所示的频率分布直方图.若零件尺寸落在区间之内,则认为该零件合格,否则认为不合格.其中
,
分别表示样本的平均值和标准差,计算得
(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
(1)已知一个零件的尺寸是,试判断该零件是否合格;
(2)利用分层抽样的方法从尺寸在的样本中抽取6个零件,再从这6个零件中随机抽取2个,求这2个零件中恰有1个尺寸小于
的概率.
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【题目】人们通常以分贝(符号是)为单位来表示声音强度的等级,30~40分贝是较理想的安静环境,超过50分贝就会影响睡眠和休息,70分贝以上会干扰谈话,长期生活在90分贝以上的嗓声环境,会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病,如果突然暴露在高达150分贝的噪声环境中,听觉器官会发生急剧外伤,引起鼓膜破裂出血,双耳完全失去听力,为了保护听力,应控制噪声不超过90分贝,一般地,如果强度为
的声音对应的等级为
,则有
,则
的声音与
的声音强度之比为( )
A.10B.100C.1000D.10000
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【题目】已知圆与圆
相外切,且与直线
相切.
(1)记圆心的轨迹为曲线
,求
的方程;
(2)过点的两条直线
与曲线
分别相交于点
和
,线段
和
的中点分别为
.如果直线
与
的斜率之积等于1,求证:直线
经过定点.
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【题目】南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为1,5,11,21,37,6l,95,则该数列的第8项为( )
A.99B.131C.139D.141
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