Question

4．已知曲线C：y=x²+2x在点（0，0）处的切线为l，则由C，l以及直线x=1围成的区域面积等于$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 求出函数的导数，可得切线的斜率，进而得到切线l的方程，求出A的坐标，确定被积函数与被积区间，求出原函数，结合三角形的面积公式，即可得到结论．

解答 解：由y=x²+2x的导数为y′=2x+2，
可得在点（0，0）处的切线斜率为2，
则切线l的方程为y=2x，
由x=1，可得y=2，即A（1，2），
由C，l以及直线x=1围成的区域面积为：
S=${∫}_{0}^{1}$（x²+2x）dx-S_△OAH=（$\frac{1}{3}$x³+x²）|${\;}_{0}^{1}$-$\frac{1}{2}$×1×2=$\frac{1}{3}$+1-1=$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，求封闭图形的面积注意运用定积分，考查运算能力，属于中档题．