Question

3．在平面直角坐标系xoy中，曲线C₁的普通方程为x²+y²+2x-4=0，曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x={t^2}\\ y=t\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系．
（1）求曲线C₁，C₂的极坐标方程；
（2）求曲线C₁与C₂交点的极坐标（ρ，θ），其中ρ≥0，0≤θ＜2π．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁的普通方程为x²+y²+2x-4=0，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程．曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x={t^2}\\ y=t\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t化为普通方程：x=y²，利用互化公式可得C₂的极坐标方程．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{x={y}^{2}}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+2x-4=0}\end{array}\right.$，解得交点直角坐标，再化为极坐标即可．

解答 解：（1）曲线C₁的普通方程为x²+y²+2x-4=0，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程：ρ²+2ρcosθ-4=0．
曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x={t^2}\\ y=t\end{array}\right.$（t为参数），化为普通方程：x=y²，可得C₂的极坐标方程为ρcosθ=ρ²sin²θ，
即cosθ=ρsin²θ．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{x={y}^{2}}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+2x-4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-1}\end{array}\right.$．
可得极坐标$（\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$，$（\sqrt{2}，\frac{7π}{4}）$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、曲线交点、参数方程化为直角坐标，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．