Question

2．某投资公司现提供两种一年期投资理财方案，一年后投资盈亏的情况如表：

投资股市	获利40%	不赔不赚	亏损20%	购买基金	获利20%	不赔不赚	亏损10%
概率P	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	概率P	p	$\frac{1}{3}$	q

（ I）甲、乙两人在投资顾问的建议下分别选择“投资股市”和“购买基金”，若一年后他们中至少有一人盈利的概率大于$\frac{4}{5}$，求p的取值范围；
（ II）某人现有10万元资金，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选出一种，若购买基金现阶段分析出$p=\frac{1}{2}$，那么选择何种方案可使得一年后的投资收益的数学期望值较大？

Answer 1

分析 （ I）设事件A为“甲投资股市且盈利”，事件B为“乙购买基金且盈利”，事件C为“一年后甲、乙中至少有一人盈利”，则$C=A\overline B∪\overline AB∪AB$，其中A，B相互独立．利用相互独立事件、互斥事件的概率计算公式即可得出概率．
（ II）假设此人选择“投资股市”，记ξ为盈利金额（单位万元），可得ξ的分布列为．假设此人选择“购买基金”，记η为盈利金额（单位万元），可得η的分布列，计算即可比较出大小关系．

解答 解：（ I）设事件A为“甲投资股市且盈利”，事件B为“乙购买基金且盈利”，事件C为“一年后甲、乙中至少有一人盈利”，则$C=A\overline B∪\overline AB∪AB$，其中A，B相互独立．…2分
因为$P（A）=\frac{1}{2}，P（B）=p$，则$P（C）=P（A\overline B）+P（\overline AB）+P（AB）$，即$P（C）=\frac{1}{2}（1-p）+（1-\frac{1}{2}）p+\frac{1}{2}p=\frac{1}{2}（1+p）$，
由$\frac{1}{2}（1+p）＞\frac{4}{5}$解得$p＞\frac{3}{5}$；…4分
又因为$p+\frac{1}{3}+q=1$且q≥0，所以$p≤\frac{2}{3}$，故$\frac{3}{5}＜p≤\frac{2}{3}$．…6分
（ II）假设此人选择“投资股市”，记ξ为盈利金额（单位万元），则ξ的分布列为：

ξ	4	0	-2
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$

则$Eξ=4×\frac{1}{2}+0×\frac{1}{8}-2×\frac{3}{8}=\frac{5}{4}$；…8分
假设此人选择“购买基金”，记η为盈利金额（单位万元），则η的分布列为：

η	2	0	-1
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$

则$Eη=2×\frac{1}{2}+0×\frac{1}{3}-1×\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$；…10分
因为$\frac{5}{4}＞\frac{5}{6}$，即Eξ＞Eη，所以应选择“投资股市”可使得一年后的投资收益的数学期望值较大．…12分．

点评 本题考查了相互独立事件、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．