Question

4．已知函数f（x）=Asin（$\frac{x}{3}$-φ）（A＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的最大值为2，其图象经过点M（π，1）
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）设α，β∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（3α+$\frac{π}{2}$）=$\frac{10}{13}$，f（3β+2π）=$\frac{6}{5}$，求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）利用由函数的最大值求出A，由特殊点求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递减区间．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公公式，求得cos（α+β）的值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=Asin（$\frac{x}{3}$-φ）（A＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的最大值为2，∴A=2，
∵其图象经过点M（π，1），∴2sin（$\frac{π}{3}$-φ）=1，即 sin（$\frac{π}{3}$-φ）=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{π}{3}$-φ=$\frac{π}{6}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴函数f（x）=2sin（$\frac{x}{3}$-$\frac{π}{6}$）．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{3}$-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得 6kπ+2π≤x≤6kπ+5π，故函数f（x）的单调递减区间为[6kπ+2π，6kπ+5π]，k∈Z．
（2）设α，β∈[0，$\frac{π}{2}$]，∵f（3α+$\frac{π}{2}$）=2sinα=$\frac{10}{13}$，∴sinα=$\frac{5}{13}$，∴cosα=$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=$\frac{12}{13}$．
∵f（3β+2π）=2sin（β+$\frac{π}{2}$）=2cosβ=$\frac{6}{5}$，∴cosβ=$\frac{3}{5}$，∴sinβ=$\sqrt{{1-cos}^{2}β}$=$\frac{4}{5}$，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{12}{13}•\frac{3}{5}$-$\frac{5}{13}•\frac{4}{5}$=$\frac{16}{65}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最大值求出A，由特殊点求出φ的值，正弦函数的单调性，同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公公式，属于基础题．