Question

2．已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和满足S_n＞1，6S_n=（a_n+1）（a_n+2）．
（1）求a₁的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$＜$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （1）利用6S_n=（a_n+1）（a_n+2）．通过n=1，直接求解a₁，利用S₁＞1，求解a₁即可．
（2）通过a_n+1=S_n+1-S_n，推出a_n+1-a_n=3，或a_n+1=-a_n，得到{a_n}是以2为首项，公差为3的等差数列，求解{a_n}的通项．
（3）利用$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$） 利用裂项法求和，证明$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$＜$\frac{1}{6}$．

解答 解：（1）∵6S_n=（a_n+1）（a_n+2）．n∈N，
由6a₁=6S₁=（a₁+1）（a₁+2），解得a₁=1或a₁=2，∵a₁=S₁＞1，∴a₁=2．…（2分）
（2）∵a_n+1=S_n+1-S_n=$\frac{1}{6}$（a_n+1+1）（a_n+1+2）-$\frac{1}{6}$（a_n+1）（a_n+2），…（3分）
∴a_n+1-a_n=3，或a_n+1=-a_n，∵a_n＞0，∴a_n+1-a_n=3，…（5分）
∴{a_n}是以2为首项，公差为3的等差数列，
∴{a_n}的通项为a_n=3n-1．  …（6分）
（3）证明：$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$） …（8分）
∴$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{3}$[（$\frac{1}{2}-\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{8}$）+（$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{11}$）+…+（$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$）]
=$\frac{1}{3}（\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}）$=$\frac{1}{6}$$-\frac{1}{3（3n+2）}$＜$\frac{1}{6}$．
从而，有$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$＜$\frac{1}{6}$．  …（12分）

点评 本题考查数列的应用，数列的通项公式，以及数列求和，不等式的证明，考查转化思想以及计算能力．