Question

9．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆，在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{π}$．

Answer 1

分析 设OA=OB=2，两个半圆的交点为C，且以AO为直径的半圆以D为圆心，连结OC、CD．根据扇形面积公式和三角形面积公式算出S_弓形OMC 算出两块阴影部分面积之和为π．最后根据几何概型计算公式，将所得阴影部分面积除以扇形OAB的面积，即可得到所求概率．

解答 解：如图，设两个半圆的交点为C，且以AO为直径的半圆以D为圆心，连结OC、CD
设OA=OB=2，则弓形OMC的面积为
S_弓形OMC=S_扇形OCD-S_Rt△DCO=$\frac{1}{4}$•π•1²-$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}$
可得空白部分面积为S_空白=2S_半圆AO-2S_弓形OMC=2×$\frac{1}{2}$•π•1²-（$\frac{π}{2}$-1）=$\frac{π}{2}$+1，
因此，两块阴影部分面积之和S_阴影=S_扇形OAB-S_空白=$\frac{1}{4}$π•2²-（$\frac{π}{2}$+1）=$\frac{π}{2}$-1
可得在扇形OAB内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为P=$\frac{{S}_{阴影}}{{S}_{扇形AOB}}$=$\frac{\frac{π}{2}-1}{π}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{π}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{π}$

点评 本题主要考查几何概型的概率的计算，着重考查了扇形面积公式、组合图形的面积计算和几何概型计算公式等知识，根据条件求出阴影部分的面积是解决本题的关键．