Question

2．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin²θ-4cosθ=0，直线l过点M（0，4）且斜率为-1．
（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，写出直线l的标准参数方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （I）曲线C：ρsin²θ-4cosθ=0，即ρ²sin²θ-4ρcosθ=0，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可化为直角坐标方程．由直线l过点M（0，4）且斜率为-1，可得参数方程．
（II）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程：t²+12$\sqrt{2}$t+32=0．利用|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$即可得出．

解答 解：（I）曲线C：ρsin²θ-4cosθ=0，即ρ²sin²θ-4ρcosθ=0，可得直角坐标方程：y²=4x．
由直线l过点M（0，4）且斜率为-1，可得参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（II）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程：t²+12$\sqrt{2}$t+32=0．
∴t₁+t₂=-12$\sqrt{2}$，t₁t₂=32．
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（-12\sqrt{2}）^{2}-4×32}$=4$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、直线与抛物线相交弦长、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．