Question

10．已知f（x）=3x²+2ax+b，若对于任意的x∈[-1，0]，关于x的不等式f（x）≤0恒成立，则$f（{-\frac{1}{2}}）$的最大值为-$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 根据题意，结合二次函数f（x）=3x²+2ax+b的图象得出不等式组，画出该不等式所表示的平面区域，设z=f（-$\frac{1}{2}$）=-a+b+$\frac{3}{4}$，根据线性规划即可求出最大值

解答 解：∵f（x）=3x²+2ax+b，根据已知条件知：$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=-2a+b+3≤0}\\{f（0）=b≤0}\end{array}\right.$；
该不等式表示的平面区域如图中阴影部分所示，
∵f（-$\frac{1}{2}$）=-a+b+$\frac{3}{4}$，
设z=f（-$\frac{1}{2}$）=-a+b+$\frac{3}{4}$，
画出目标函数b=a-$\frac{3}{4}$，平移目标函数，
当经过点A（$\frac{3}{2}$，0）时，z=f（-$\frac{1}{2}$）=-a+b+$\frac{3}{4}$有最大值，
即为z=f（-$\frac{1}{2}$）=-a+b+$\frac{3}{4}$=-$\frac{3}{2}$+0+$\frac{3}{4}$=-$\frac{3}{4}$，
故答案为：-$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了线性规划的应用问题和直线方程以及数形结的应用问题，是综合性题目．