Question

1．椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$经过点A（-2，0），且离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过点P（4，0）任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点M，N．在x轴上是否存在点Q，使得∠PQM+∠PQN=180°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得a=2，结合椭圆的离心率及隐含条件求得b，则椭圆E的方程可求；
（Ⅱ）可得直线QM和QN的斜率存在，分别设为k₁，k₂．等价于k₁+k₂=0，设出直线PQ的方程，联立直线方程和椭圆方程，然后借助于根与系数的关系整体运算得答案．

解答 解：（ I）$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$…（3分）
（ II）若存在点Q（m，0），使得∠PQM+∠PQN=180°，
则直线QM和QN的斜率存在，分别设为k₁，k₂．
等价于k₁+k₂=0．…（4分）
依题意，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y=k（x-4）．
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-4）}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1}\end{array}}\right.$，得（2k²+1）x²-16k²x+32k²-4=0．…（5分）
因为直线l与椭圆C有两个交点，所以△＞0．
即（16k²）²-4（2k²+1）（32k²-4）＞0，解得${k^2}＜\frac{1}{6}$．…（6分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=\frac{{16{k^2}}}{{2{k^2}+1}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{32{k^2}-4}}{{2{k^2}+1}}$，…（7分）
y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4）．
令k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-m}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-m}$=0，即（x₁-m）y₂+（x₂-m）y₁=0，
（x₁-m）•k（x₂-m）+（x₂-m）•k（x₁-m）=0，…（8分）
当k≠0时，2x₁x₂-（m+4）（x₁+x₂）+8m=0，
所以2×$\frac{32{k}^{2}-4}{2{k}^{2}+1}$-（m+4）×$\frac{16{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}+8m=0$，
化简得，$\frac{8（m-1）}{2{k}^{2}+1}=0$，
所以．…（11分）
当k=0时，也成立．
所以存在点Q（1，0），使得∠PQM+∠PQN=180°．…（12分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查了椭圆的简单性质，涉及直线和圆锥曲线位置关系的问题，常采用联立直线方程和圆锥曲线方程，利用根与系数的关系求解，是中档题．