Question

18．设等差数列{a_n}是无穷数列，且各项均为互不相同的正整数，其前n项和为S_n，数列{b_n}满足b_n=$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$-1，n∈N^*．
（1）若a₂=5，S₅=40，求b₂的值；
（2）若数列{b_n}为等差数列，求b_n；
（3）在（1）的条件下，求证：数列{a_n}中存在无穷多项（按原来的顺序）成等比数列．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，则a₁∈N^*，d∈N^*，由a₂=5，S₅=40得，a₁+d=5，5a₁+$\frac{5×4}{2}$d=40，由此能求出b₂．
（2）由数列{b_n}为等差数列，得2（$\frac{{S}_{2}}{{a}_{2}}$-1）=$\frac{{S}_{1}}{{a}_{1}}$-1+$\frac{{S}_{3}}{{a}_{3}}$-1，解得a₁=d，由此能求出b_n．
（3）等差数列{a_n}的通项公式a_n=2+3（n-1），n∈N^*，再证明对任意的n∈N^*，b_n=2×4^n-1都是{a_n}中的项，由此能证明数列{a_n}中存在无穷项（按原来的顺序）成等比数列．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
因为无穷数列{a_n}的各项均为互不相同的正整数，所以a₁∈N^*，d∈N^*，
由a₂=5，S₅=40得，a₁+d=5，5a₁+$\frac{5×4}{2}$d=40，
解得a₁=2，d=3，所以b₂=$\frac{{S}_{2}}{{a}_{2}}$-1=$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{2}{5}$；
（2）因为数列{b_n}为等差数列，所以2b₂=b₁+b₃，即2（$\frac{{S}_{2}}{{a}_{2}}$-1）=$\frac{{S}_{1}}{{a}_{1}}$-1+$\frac{{S}_{3}}{{a}_{3}}$-1，
所以$\frac{2（2{a}_{1}+d）}{{a}_{1}+d}$=1+$\frac{3（{a}_{1}+d）}{{a}_{1}+2d}$，解得a₁=d（d=0已舍），
此时，b_n=$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$-1=$\frac{\frac{n（n+1）}{2}{a}_{1}}{n{a}_{1}}$-1=$\frac{n-1}{2}$；
证明：（3）由（1）知，等差数列{a_n}的通项公式a_n=2+3（n-1），n∈N^*，
下证：对任意的n∈N^*，b_n=2×4^n-1都是{a_n}中的项，
当n≥2时，因为1+4+4²+…+4^n-2=$\frac{{4}^{n-1}-1}{3}$，
所以b_n=2×4^n-1=2×[3（1+4+4²+…+4^n-2）+1]=2+3[2（1+4+4²+…+4^n-2）+1-1]
a_{2（1+4+4²+…+4^n-2）+1}，其中2（1+4+4²+…+4^n-2）+1∈N^*，
又n=1时，b₁=a₁=2，
所以对任意的n∈N^*，b_n=2×4^n-1都是{a_n}中的项，
所以，数列{a_n}中存在无穷项（按原来的顺序）成等比数列．

点评 本题考查数列中第二项的求法，考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的证明，考查等差数列、等比数列的等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．