Question

【题目】若二次函数f（x）=x2+bx+c满足f（2）=f（﹣2），且函数的f（x）的一个零点为1． （Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）对任意的 ，4m2f（x）+f（x﹣1）≥4﹣4m2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（2）=f（﹣2）且f（1）=0，故函数图像的对称轴为x=0， ∴b=0，c=﹣1，∴f（x）=x2﹣1．
（Ⅱ）由题意知：4m2（x2﹣1）+（x﹣1）2﹣1+4m2﹣4≥0，在 上恒成立，
整理得 在 上恒成立．
令g（x）= ，
∵ ，∴ ，
当 时，函数g（x）的最大值 ，
所以 ，解得 或
【解析】（Ⅰ）由题意可得函数图像的对称轴为x=0，求得b=0，再由f（1）=0求得c=﹣1，从而得到函数的解析式．（Ⅱ）由题意知，得 在 上恒成立．令g（x）= ，求得g（x）的最大值 ，从而得到 ，由此求得实数m的取值范围．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．