【题目】如图1所示,在边长为12的正方形AA'A1'A1中,BB1∥CC1∥AA1,且AB=3,BC=4,AA1'分别交BB1,CC1于点P,Q,将该正方形沿BB1、CC1折叠,使得A'A1'与AA1重合,构成如图2所示的三棱柱ABC﹣A1B1C1.
(1)求三棱锥P﹣ABC与三棱锥Q﹣PAC的体积之和;
(2)求直线AQ与平面BCC1B1所成角的正弦值;
(3)求三棱锥Q﹣ABC的外接球半径r.
【答案】(1)体积之和为20.(2) .(3)
.
【解析】试题分析:(1)在图1中,∵△PAB,△ACQ是等腰直角三角形,∴PB=3,CQ=7,∵AB=3,BC=4,AC=12﹣3﹣4=5,∴AB⊥BC,∴B到AC的距离d=,分别计算VP﹣ABC,VQ﹣PAC得出结论;(2)连接BQ,∵BB1⊥平面ABC,∴BB1⊥AB,又AB⊥BC,BC∩BB1=B,∴AB⊥平面BCC1B1,∴∠AQB是直线AQ与平面BCC1B1所成角;(3)取AQ中点M,∵△ABQ和△ACQ是直角三角形,∴MA=MB=MC=MQ,∴三棱锥Q﹣ABC的外接球球心为M,从而得出外接球半径.
试题解析:
(1)在图1中,∵△PAB,△ACQ是等腰直角三角形,
∴PB=3,CQ=7,
∵AB=3,BC=4,AC=12﹣3﹣4=5,
∴AB⊥BC,
∴B到AC的距离d==
.
∴VP﹣ABC==
=6,
VQ﹣PAC=VP﹣QAC==
=14,
∴三棱锥P﹣ABC与三棱锥Q﹣PAC的体积之和为6+14=20.
(2)连接BQ,
∵BB1⊥平面ABC,∴BB1⊥AB,
又AB⊥BC,BC∩BB1=B,
∴AB⊥平面BCC1B1,
∴∠AQB是直线AQ与平面BCC1B1所成角.
∵AQ==
,
∴sin∠AQB==
.
(3)设AQ的中点为M,
∵△ABQ和△ACQ是直角三角形,
∴MA=MB=MC=MQ,
∴三棱锥Q﹣ABC的外接球球心为M.
∴三棱锥Q﹣ABC的外接球半径r=AQ=
.
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【题目】对于区间,若函数
同时满足:①
在
上是单调函数;②函数
,
的值域是
,则称区间
为函数
的“保值”区间.
(1)求函数的所有“保值”区间.
(2)函数是否存在“保值”区间?若存在,求出
的取值范围;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,在三棱锥中,
底面
分别是
的中点,
在
,且
.
(1)求证: 平面
;
(2)在线段上是否存在点
,使二面角
的大小为
?若存在,求出
的长;
若不存在,请说明理由.
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【题目】某奶茶公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种不同的奶茶共5 杯,其颜色完全相同,并且其中3杯为奶茶,另外2杯为
奶茶,公司要求此员工一一品尝后,从5杯奶茶中选出2杯奶茶.若该员工2杯都选
奶茶,则评为优秀;若2 杯选对1杯
奶茶,则评为良好;否则评为及格.假设此人对
和
两种奶茶没有鉴别能力.
(Ⅰ)求此人被评为优秀的概率;(Ⅱ)求此人被评为良好及以上的概率.
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【题目】2018年高考特别强调了要增加对数学文化的考查,为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷(文、理科试卷满分均为100分),并对整个高三年级的学生进行了测试,现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩,按照成绩为,
,…,
分成了5组,制成了如图所示的频率分布直方图(假定每名学生的成绩均不低于50分).
(Ⅰ)求频率分布直方图中的的值,并估计所抽取的50名学生成绩的中位数(用分数表示);
(Ⅱ)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人,再从这6人中随机抽取2人参加这次考试的考后分析会,试求组中至少有1人被抽到的概率.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面
是平行四边形,
,侧面
底面
,
,
,
分别为
的中点,点
在线段
上.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)如果直线与平面
所成的角和直线
与平面
所成的角相等,求
的值.
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