已知数列{an}.圆C1:x2+y2-2anx+2an+1y-1=0和圆C2:x2+y2+2x+2y-2=0．若圆C1与C2交于A.B两点.且AB平分圆C2的周长．(Ⅰ)求证:数列{an}是等差数列,(Ⅱ)若a1=-3.求圆C1被直线x+2y+2=0截得弦长最小时圆C1的方程．(Ⅲ)若圆C3为(Ⅱ)中求出的圆C1的同心圆.且半径为2．设P为平面上的点.满足:存在过点P的无穷多� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知数列{a_n}，圆C₁：x²+y²-2a_nx+2a_n+1y-1=0和圆C₂：x²+y²+2x+2y-2=0．若圆C₁与C₂交于A、B两点，且AB平分圆C₂的周长．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）若a₁=-3，求圆C₁被直线x+2y+2=0截得弦长最小时圆C₁的方程．
（Ⅲ）若圆C₃为（Ⅱ）中求出的圆C₁的同心圆，且半径为2．设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l₁和l₂，它们分别与圆C₂和C₃相交，且直线l₁被圆C₂截得的弦长与直线l₂被圆C₃截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）首先把圆的一般式转化为标准式，进一步利用圆的特殊位置求出关系式，进一步求的结论．
（Ⅱ）利用二次函数的最值问题求得圆的方程．
（Ⅲ）⊙C₃的圆心到直线l₁的距离和圆C₂的圆心到直线l₂的距离相等，即

|-k+1+b-ka|

k2+1

-k-kb-a|

k2+1

，化简得出：（a-b）k=

+b+a或（a+b+2）k=b-a+

因k的取值有无穷多个，所以对应系数为0.

a-b=0

a+b+

=0或

a+b+2=0

b-a+

求解即可得出P点坐标．

解答： 解：（Ⅰ）圆C₁：x²+y²-2a_nx+2a_n+1y-1=0转化为：（x-a_n）²+（y+a_n+1）²=a

n+1

+1，
圆心坐标为：（a_n，a_n+1），半径为：

an2+an+12+1

，
圆C₂，（x+1）²+（y+1）²=4，圆心坐标为：（-1，-1），半径为2，
圆C₁与圆C₂交于A，B两点且这两点平分圆C₂的周长．
则：|C₁C₂|²+r₂²=r₁²，
即：（a_n+1）²+（a_n+1-1）²+4=a_n²+a_n+1²+1，
求得：an+1-an=

（常数），
所以：数列{a_n}是等差数列，
（Ⅱ）∵a₁=-3，
∴a_n=

，
r₁=

an2+an+12+1

50n2-170n+161

，
∵n∈N^*，∴n=2时，r₁取最小，
∵d=

，
∴r 12=（

）²+

，
∴此时弦长也最短，
∴圆C₁的方程为：x²+y²+x+4y-1=0
（Ⅲ）C₃：（x+

）²+（y+2）²=4，
设点P（a，b）满足条件，不妨设直线l₁的方程为y-b=k（x-a），k≠0
则直线l₂方程为：y-b=-

（x-a），
∵⊙C₃和⊙C₂的半径相等，及直线l₁被圆C₃截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，
∴⊙C₃的圆心到直线l₁的距离和圆C₂的圆心到直线l₂的距离相等
即

|-k+1+b-ka|

k2+1

-k-kb-a|

k2+1

，
整理得|-k+1+b-ka|=|-

-k-kb-a|，
∴即-k+1+b-ka|=±（-

-k-kb-a）
（a-b）k=

+b+a或（a+b+2）k=b-a+

因k的取值有无穷多个，所以

a-b=0

a+b+

=0或

a+b+2=0

b-a+

解得

a=-

b=-

或

a=-

b=-

这样的点只可能是点P₁（-

，-

）或点P₂（-

，-

）
故所有满足条件的点P₁（-

，-

）或点P₂（-

，-

）

点评：本题综合考察了直线与圆的位置关系，点到直线的距离，化简难度较大，本题还融合了数列的知识，要把圆的知识掌握的很好，属于难题．

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开卷8分钟英语阅读理解与完形填空系列答案

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