Question

19．如果（$\sqrt{x}-\frac{1}{{x}^{2}}$）ⁿ的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是5．

Answer 1

分析 T_r+1=（-1）^r${∁}_{n}^{r}$${x}^{\frac{n-5r}{2}}$．令$\frac{n-5r}{2}$=0，可得n=5r．即可得出．

解答 解：T_r+1=${∁}_{n}^{r}$$（\sqrt{x}）^{n-r}$$（-\frac{1}{{x}^{2}}）^{r}$=（-1）^r${∁}_{n}^{r}$${x}^{\frac{n-5r}{2}}$．
令$\frac{n-5r}{2}$=0，可得n=5r．
∵（$\sqrt{x}-\frac{1}{{x}^{2}}$）ⁿ的展开式中含有常数项，∴正整数n的最小值是5．
故答案为：5．

点评 本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．