Question

11．已知圆C：x²+（y-4）²=4，直线l：（3m+1）x+（1-m）y-4=0
（Ⅰ）求直线l被圆C所截得的弦长最短时m的值及最短弦长
（Ⅱ）已知坐标轴上点A（0，2）和点T（t，0）满足：存在圆C上的两点P和Q，使得$\overrightarrow{TA}$$+\overrightarrow{TP}$=$\overrightarrow{TQ}$，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直线l的方程求出l恒过定点M，判断点M在圆C内，
利用圆心到直线的距离和勾股定理求出最短弦长；
（Ⅱ）【解法一】设出点P、Q的坐标，
利用平面向量的坐标运算以及两圆相交的条件求出t的取值范围．
【解法二】根据平面向量的线性运算与模长公式，
求出t的取值范围，再验证此时的t满足题意即可．

解答 解：（Ⅰ）由直线l：（3m+1）x+（1-m）y-4=0，得m（3x-y）=-x-y+4，
由m的取值是任意的实数，得$\left\{\begin{array}{l}{3x-y=0}\\{-x-y+4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，∴直线l恒过定点M（1，3）；
又|CM|=$\sqrt{2}$＜2=r，
∴点M在圆C内，且当CM⊥l时，所截得的弦长最短，
由题意知圆心C（0，4），半径r=2，∴k_CM=$\frac{4-3}{0-1}$=-1
∴k_l=$\frac{-1}{{k}_{CM}}$=$\frac{-1}{-1}$=1，
由$\frac{3m+1}{m-1}$=1，解得m=-1；
∴圆心C到直线l的距离为d=|CM|=$\sqrt{2}$，
∴最短弦长为l₀=2$\sqrt{{r}^{2}{-d}^{2}}$=2$\sqrt{{2}^{2}{-（\sqrt{2}）}^{2}}$=2$\sqrt{2}$；
（Ⅱ）【解法一】设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由$\overrightarrow{TA}$+$\overrightarrow{TB}$=$\overrightarrow{TQ}$得（-t，2）+（x₁-t，y₁）=（x₂-t，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{=x}_{2}+t}\\{{y}_{1}{=y}_{2}-2}\end{array}\right.$，由点P（x₁，y₁）在圆C上，得${{（x}_{2}+t）}^{2}$+${{（y}_{2}-6）}^{2}$=4；
由点Q（x₂，y₂）在圆C上，得${{x}_{2}}^{2}$+${{（y}_{2}-4）}^{2}$=4；
∴圆${{（x}_{2}+t）}^{2}$+${{（y}_{2}-6）}^{2}$=4与${{x}_{2}}^{2}$+${{（y}_{2}-4）}^{2}$=4有交点，
则2-2≤$\sqrt{{（-t）}^{2}{+2}^{2}}$≤2+2，解得-2$\sqrt{3}$≤t≤2$\sqrt{3}$，
∴t的取值范围是[-2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]．
【解法二】由$\overrightarrow{TA}$$+\overrightarrow{TP}$=$\overrightarrow{TQ}$，得$\overrightarrow{TA}$=$\overrightarrow{TQ}$-$\overrightarrow{TP}$=$\overrightarrow{PQ}$，则|$\overrightarrow{TA}$|=|$\overrightarrow{PQ}$|，
又|$\overrightarrow{PQ}$|≤4，∴|$\overrightarrow{TA}$|=$\sqrt{{t}^{2}{+2}^{2}}$≤4，
解得-2$\sqrt{3}$≤t≤2$\sqrt{3}$，
对于任意t∈[-2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]，欲使$\overrightarrow{TA}$=$\overrightarrow{PQ}$，此时|$\overrightarrow{TA}$|≤4；
只需作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为$\sqrt{4-\frac{{|TA|}^{2}}{4}}$，
必然与圆交于P、Q两点，此时|$\overrightarrow{TA}$|=|$\overrightarrow{PQ}$|，即$\overrightarrow{TA}$=$\overrightarrow{PQ}$；
因此对于任意t∈[-2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]均满足题意；
综上，t的取值范围是[-2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了平面向量的应用问题，是综合题．