Question

20．过原点作曲线y=e^x（其中e为自然对数的底数）的切线l，若点M（$\frac{2-ab}{e}$，a+2b））（a≥0，b≥0）在切线l上，则a+b的最小值为1．

Answer 1

分析 设出切点坐标，利用导数可得切线方程，再由切线过原点可得切点坐标，进一步得到切线方程，把M坐标代入，可得a，b关系式，求出b的取值范围，把a+b化为关于b的函数，利用导数求得a+b的最小值．

解答 解：设切点为P（${x}_{0}，{e}^{{x}_{0}}$），则$y′{|}_{x={x}_{0}}={e}^{{x}_{0}}$，
∴过切点的切线方程为y-${e}^{{x}_{0}}$=${e}^{{x}_{0}}（x-{x}_{0}）$．
把原点坐标代入，可得$-{e}^{{x}_{0}}=-{x}_{0}{e}^{{x}_{0}}$，则x₀=1．
∴切线方程为y=ex．
∵点M（$\frac{2-ab}{e}$，a+2b））（a≥0，b≥0）在切线l上，
∴a+2b=e•$\frac{2-ab}{e}$=2-ab．
则a+2b=2-ab，即a=$\frac{2-2b}{b+1}$．
∴a+b=$\frac{2-2b}{b+1}+b=\frac{{b}^{2}-b+2}{b+1}$．
令g（b）=$\frac{{b}^{2}-b+2}{b+1}$（0≤b≤1）．
则g′（b）=$\frac{{b}^{2}+2b-3}{（b+1）^{2}}$≤0在[0，1]上恒成立．
∴g（b）=$\frac{{b}^{2}-b+2}{b+1}$（0≤b≤1）为减函数．
则g（b）_min=g（1）=1．
故答案为：1．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求函数在闭区间上的最值，是中档题．