Question

5．用数学归纳法证明：1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$≤n（n≥1，n∈N^*）．

Answer 1

分析 直接利用数学归纳法证明问题的步骤，证明不等式即可．

解答 证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，命题成立．
（2）假设当n=k时，1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$≤k成立
当n=k+1时，左边=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$
≤k+$\frac{1}{{2}^{k}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$≤k+$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$=k+1，
当n=k+1时命题成立．
由（1）（2）可得，对于任意n≥1，n∈N^*都成立．

点评 本题考查数学归纳法证明含自然数n的表达式的证明方法，注意n=k+1的证明时，必须用上假设．