Question

19．若直线2ax+by-2=0（ab＞0）平分圆x²+y²-2x-4y-6=0，则$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值是（　　）

• A． 1
• B． 5
• C． 4$\sqrt{2}$
• D． 3+2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据题意，由圆的一般式方程可得圆心的坐标，又由直线与圆的位置关系可得直线2ax+by-2=0过圆心（1，2），将圆心坐标代入直线方程可得a+b=1，进而分析可得$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=（a+b）（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$）=（2+1+$\frac{a}{b}$+$\frac{2b}{a}$）=3+（$\frac{a}{b}$+$\frac{2b}{a}$），由基本不等式的性质分析可得答案．

解答 解：根据题意，圆x²+y²-2x-4y-6=0的圆心为（1，2），
若直线2ax+by-2=0（ab＞0）平分圆x²+y²-2x-4y-6=0，必有直线2ax+by-2=0过圆心（1，2），
则有2a+2b-2=0，即a+b=1，
$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=（a+b）（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$）=（2+1+$\frac{a}{b}$+$\frac{2b}{a}$）=3+（$\frac{a}{b}$+$\frac{2b}{a}$）≥3+2$\sqrt{\frac{a}{b}×\frac{2b}{a}}$=3+2$\sqrt{2}$；
当且仅当a=$\sqrt{2}$b时等号成立；
即$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值是3+2$\sqrt{2}$；
故选：D．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，涉及基本不等式的性质，关键是求出a、b之间的关系．