Question

7．已知圆C的一条直径的两个端点的坐标为O（0，0），D（0，-2）．
（1）过点P（1，-3）作圆C的两条切线，这两条切线分别与x轴交于A、B两点，求|AB|；
（2）点Q为直线x+y一m=0（m＞0）上一动点，且圆C上一点到此直线的最短距离为4$\sqrt{2}$-1，求$\overrightarrow{QO}$•$\overrightarrow{QD}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出圆的方程、两条切线方程，可得A，B的横坐标，即可得出结论．
（2）可得圆心C（0，-1）到直线x+y-m=0（m＞0）的距离为4$\sqrt{2}$，
即$\frac{|0-1-m|}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}$，解得m=7，设Q（x，7-x），则$\overrightarrow{QO}=（-x，x-7）$，$\overrightarrow{QD}=（-x，-9+x）$，
即可求得$\overrightarrow{QO}$•$\overrightarrow{QD}$的最小值．

解答 解：（1）已知圆C的一条直径的两个端点的坐标为O（0，0），D（0，-2）．
∴圆C的圆心为C（0，-1），半径为1，
∴圆C：x²+y²+2x=0
切线斜率不存在时，直线方程为x=1，满足题意；
切线斜率存在时，设直线方程为y+3=k（x-1），即kx-y-k-3=0，
圆心到直线的距离d=$\frac{|-k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，∴k=-$\frac{3}{4}$，
切线方程为3x+4y+9=0，令y=0，可得x=-3，
∴|AB|=3+1=4．
 （2）∵点Q为直线x+y-m=0（m＞0）上一动点，且圆C上一点到此直线的最短距离为4$\sqrt{2}$-1．
∴圆心C（0，-1）到直线x+y-m=0（m＞0）的距离为4$\sqrt{2}$，
即$\frac{|0-1-m|}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}$，∴m=-9或7
∵m＞0，∴m=7，
∴设Q（x，7-x），则$\overrightarrow{QO}=（-x，x-7）$，$\overrightarrow{QD}=（-x，-9+x）$
∴$\overrightarrow{QO}•\overrightarrow{QD}$=x²+（7-x）（9-x）=2x²-16x+63=2（x-4）²+31≥31．
即当Q（4，3）时，$\overrightarrow{QO}$•$\overrightarrow{QD}$的最小值为31．

点评 本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．