Question

17．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{ax}+3，x＞0}\\{\frac{2}{3}{x}^{3}+{x}^{2}+4，x≤0}\end{array}\right.$在[-3，3]上的最大值为$\frac{13}{3}$，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [0，$\frac{1}{3}$ln$\frac{4}{3}$]
• B． [$\frac{1}{3}$ln$\frac{4}{3}$，+∞）
• C． （-∞，0]
• D． （-∞，$\frac{1}{3}$ln$\frac{4}{3}$]

Answer 1

分析 当x＞0时，f′（x）=ae^ax，求出f（x）在（0，3]上的最大值为e^3a+3；当x≤0时，由f′（x）=2x²+2x=0，得x=0或x=-1，求出f（x）在[-3，0]上的最大值为$\frac{13}{3}$．由此利用函数f（x）在[-3，3]上的最大值为$\frac{13}{3}$，能求出实数a的取值范围．

解答 解：当x＞0时，f（x）=e^ax+3，f′（x）=ae^ax，
当a≥0时，f′（x）≥0，f（x）是增函数，
f（x）在（0，3]上的最大值f（3）=e^3a+3，
当a＜0时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，
f（x）在（0，3]上无最大值，
∴f（x）在（0，3]上的最大值为e^3a+3．
当x≤0时，f（x）=$\frac{2}{3}{x}^{3}+{x}^{2}+4$，
f′（x）=2x²+2x，
由f′（x）=2x²+2x=0，得x=0或x=-1，
∵x=0∈[-3，0]，x=-1∈[-3，0]，
f（-3）=$\frac{2}{3}×（-3）^{3}+（-3）^{2}+4$=-5，
f（-1）=$\frac{2}{3}×（-1）^{3}+（-1）^{2}+4$=$\frac{13}{3}$，
∴f（x）在[-3，0]上的最大值为$\frac{13}{3}$．
∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{ax}+3，x＞0}\\{\frac{2}{3}{x}^{3}+{x}^{2}+4，x≤0}\end{array}\right.$在[-3，3]上的最大值为$\frac{13}{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≥0}\\{{e}^{3a}+3≤\frac{13}{3}}\end{array}\right.$，解得0≤a≤$\frac{1}{3}ln\frac{4}{3}$．
∴实数a的取值范围是[0，$\frac{1}{3}ln\frac{4}{3}$]．
故选：A．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，考查导数、最值等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．