Question

9．若函数f（x）=x³-2ax²+a在（a-1，a+$\frac{1}{2}$）上有最大值，则正数a的取值范围为 （　　）

• A． （0，1）
• B． [$\frac{1}{2}$，1）
• C． （0，$\frac{1}{2}$]
• D． （$\frac{1}{2}，\frac{3}{2}$）

Answer 1

分析 由给出的是开区间，且给的函数只有一个极大值点，可得最大值一定是在该极大值点处取得，因此对原函数求导、求极大值点，然后让极大值点落在区间（a-1，a+$\frac{1}{2}$）内，由此构造不等式组求解．

解答 解：f′（x）=x（3x-4a），（a＞0），
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{4a}{3}$或x＜0，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{4a}{3}$，
故f（x）在（-∞，0）递增，在（0，$\frac{4a}{3}$）递减，在（$\frac{4a}{3}$，+∞）递增，
要使函数f（x）在（a-1，a+$\frac{1}{2}$）上有最大值，
只需a-1＜0＜a+$\frac{1}{2}$且a＞0，解得：0＜a＜1，
故选：A．

点评 本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值，考查数学转化思想方法，属中档题．