Question

4．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，cos$\frac{C}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，且c=2，则△ABC面积的最大值为$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 求出cosC=2cos²$\frac{C}{2}$-1=$\frac{1}{9}$，sinC=$\frac{4\sqrt{5}}{9}$，由余弦定理得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{9}$，从而ab$≤\frac{9}{4}$，由此能求出△ABC面积的最大值．

解答 解：∵在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，cos$\frac{C}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，且c=2，
∴cosC=2cos²$\frac{C}{2}$-1=2×$\frac{5}{9}$-1=$\frac{1}{9}$，
∴sinC=$\sqrt{1-（\frac{1}{9}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{9}$，
∵cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{9}$，∴ab$≤\frac{9}{4}$，
∴△ABC面积：
S=$\frac{1}{2}absinC$≤$\frac{1}{2}×\frac{9}{4}×\frac{4\sqrt{5}}{9}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴△ABC面积的最大值为$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查三角形面积的最大值的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．