Question

10．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t+m}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设点P（m，0），若直线l与曲线C交于A、B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t+m}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得普通方程．曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程．
（2）设点P（m，0），把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t+m}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入圆C的方程：t²+（$\sqrt{3}$m-$\sqrt{3}$）t+m²-2m=0，△＞0，解得m范围．可得|PA|•|PB|=|t₁t₂|，解出即可得出．

解答 解：（1）直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t+m}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得普通方程：x-$\sqrt{3}$y-m=0．
曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x²+y²=2x．
（2）设点P（m，0），把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t+m}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入圆C的方程：
t²+（$\sqrt{3}$m-$\sqrt{3}$）t+m²-2m=0，
△=$（\sqrt{3}m-\sqrt{3}）^{2}$-4（m²-2m）＞0，解得-1＜m＜3．
∴t₁t₂=m²-2m，
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=|m²-2m|=1，又-1＜m＜3．
解得m=1，m=1$±\sqrt{2}$．
∴实数m的值为1，1$±\sqrt{2}$．

点评 本题考查了直线参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．