Question

19．如图，AB是圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D．
（1）证明：Rt△BDE≌△Rt△CDE；
（2）设圆的半径为1，BC=$\sqrt{3}$，延长CE交AB于点F．证明：△DBE∽△BFE．

Answer 1

分析 （1）连结DE，交BC于G点，推导出∠ABE=∠BCE，∠CBE=∠ABE，从而∠BCE=∠CBE，进而BE=CE，由此得到DE是圆O的直径，从而能证明Rt△BDE≌△Rt△CDE．
（2）推导出四边形OBEC为菱形，∠CBE=∠ABE=30°，从而∠BEC=120°，∠BEF=60°，进而CF⊥AB，由此能证明△DBE∽△BFE．

解答 证明：（1）连结DE，交BC于G点，
∵AB是圆O的切线，切点为B，∴∠ABE=∠BCE，
∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，
∴∠BCE=∠CBE，∴BE=CE，
∵BD⊥BE，∴DE是圆O的直径，
∴∠DCE=90°，
∴Rt△BDE≌△Rt△CDE．
（2）由（1）知，OB=OE=1，BC⊥OE，且OE平分BC，
∴BG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
四边形OBEC为菱形，∠CBE=∠ABE=30°，
∴∠BEC=120°，∴∠BEF=60°，∴CF⊥AB，
在△DBE和△BFE中，
∵∠DBE=∠BFE=90°，∠BDE=∠FBE，
∴△DBE∽△BFE．

点评 本题考查两三角形全等及两三角形相似的证明，考查圆、切线、弦切角定理、三角形全等、三角形相似等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．