Question

3．若圆x²+y²+2x-6y+6=0有且仅有三个点到直线x+ay+1=0的距离为1，则实数a的值为（　　）

• A． ±1
• B． $±\frac{\sqrt{2}}{4}$
• C． $±\sqrt{2}$
• D． $±\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，把圆x²+y²+2x-6y+6=0上有且仅有三个点到直线x+ay+1=0的距离为1，转化为圆心C到直线x+ay+1=0的距离为1，再由点到直线的距离公式求解得答案．

解答 解：化圆x²+y²+2x-6y+6=0为（x+1）²+（y-3）²=4．
可得圆心坐标为C（-1，3），半径r=2．
如图：
要使圆x²+y²+2x-6y+6=0有且仅有三个点到直线x+ay+1=0的距离为1，
则圆心C到直线x+ay+1=0的距离为1，
即$\frac{|-1+3a+1|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}=1$，解得a=$±\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故选：B．

点评 本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．