Question

6．己知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+a}{x}$，其中x∈[1，+∞）．
（1）当a＞0时，求函数f（x）的最小值g（a）；
（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的导函数，得到f（x）的单调性，然后分a≤1和a＞1得到函数f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a）；
（2）在区间[1，+∞）上，f（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+a}{x}$＞0恒成立，等价于x²+2x+a＞0恒成立，即a＞-（x²+2x）（x≥1）恒成立，由此可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+a}{x}$=$x+\frac{a}{x}+2$，
则f′（x）=$1-\frac{a}{{x}^{2}}=\frac{{x}^{2}-a}{{x}^{2}}$．
当x＞0时，若x∈（0，$\sqrt{a}$），f′（x）＜0，f（x）为减函数；
若x∈（$\sqrt{a}，+∞$），f′（x）＞0，f（x）为增函数．
∴若$\sqrt{a}≤1$，即a≤1，则f（x）在[1，+∞）上单调递增，f（x）_min=f（1）=g（a）=a+3；
若$\sqrt{a}＞1$，即a＞1，则f（x）在[1，$\sqrt{a}$）上递减，在（$\sqrt{a}$，+∞）上单调递增，$f（x）_{min}=f（\sqrt{a}）=g（a）$=$2\sqrt{a}+2$．
∴$g（a）=\left\{\begin{array}{l}{a+3，0＜a≤1}\\{2\sqrt{a}+2，a＞1}\end{array}\right.$；
（2）在区间[1，+∞）上，f（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+a}{x}$＞0恒成立，等价于x²+2x+a＞0恒成立
即a＞-（x²+2x）（x≥1）恒成立，
∵函数y=-（x²+2x）（x≥1）的最大值为-3，
∴a＞-3．

点评 考查利用导数研究函数的单调性，考查恒成立问题，考查函数的最值，体现了数学转化思想方法，是中档题．