Question

15．设函数f（x）的定义域为R，对任意x₁，x₂∈R，恒有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）成立．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）若x＞0时，f（x）＜0，证明：f（x）是R上的减函数．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法结合函数奇偶性的定义，结合抽象函数，证明f（x）为奇函数；
（2）根据函数单调性的定义结合抽象函数的关系进行证明即可．

解答 解：（1）令x₁=x₂=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0．
（2）令x₁=x，x₂=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x）=0，
即f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数．
（2）设x₁＞x₂，则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂），
∵x₁＞x₂，
∴x₁-x₂＞0，
则f（x₁-x₂）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），即函数为减函数．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用条件证明函数的单调性是解决本题的关键．