Question

5．定义在R上的函数f（x）满足：f（m+n）=f（m）+f（n）-2对任意m，n∈R恒成立，当x＞0时，f（x）＞2
（1）证明f（x）在R上是增函数
（2）已知f（1）=5，解关于t的不等式f（t-1）≤8．

Answer 1

分析 （1）根据函数单调性的定义即可证明f（x）在R上为增函数；
（3）若f（1）=5，求出f（2）=8，将不等式f（t-1）≤8，进行转化，结合函数的单调性即可求a的取值范围．

解答 解：（1）当x＞0时，f（x）＞2，
设x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-2-f（x₁）=f（x₂-x₁）-2，
∵x₂-x₁＞0
∴f（x₂-x₁）＞2，
∴f（x₂-x₁）-2＞0
∴f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）是R上的增函数；
（2）若f（1）=5，则f（1+1）=f（1）+f（1）-2，
即f（2）=5+5-2=8，
则不等式f（t-1）≤8，等价为f（t-1）≤f（2），
∵f（x）是R上的增函数，
∴t-1≤2，
即t≤3，
即不等式的解集为（-∞，3]．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，结合函数单调性的定义，利用赋值法是解决本题的关键．