Question

1．函数y=$\frac{2{x}^{2}+3x+4}{{x}^{2}+2x+3}$在[2，5]上的最小值是$\frac{26}{15}$．

Answer 1

分析 运用分式函数常用方法：分子常数化，再由x+2+$\frac{3}{x+2}$在[2，5]递增，即可得到最值．

解答 解：函数y=$\frac{2{x}^{2}+3x+4}{{x}^{2}+2x+3}$=1+$\frac{{x}^{2}+x+1}{{x}^{2}+2x+3}$
=1+$\frac{1}{1+\frac{x+2}{{x}^{2}+2x+3}}$=1+$\frac{1}{1+\frac{1}{x+2+\frac{3}{x+2}-2}}$，
由x+2+$\frac{3}{x+2}$在[2，5]递增，
可得x+2+$\frac{3}{x+2}$∈[$\frac{19}{4}$，$\frac{52}{7}$]，
即有函数y的范围是[$\frac{26}{15}$，$\frac{83}{45}$]．
即有最小值为$\frac{26}{15}$．
故答案为：$\frac{26}{15}$．

点评 本题考查分式函数的最值的求法，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．