Question

13．已知f（x）满足3f（x）+f（-$\frac{1}{x}$）=2x²（x≠0），求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 根据f（x）满足3f（x）+f（-$\frac{1}{x}$）=2x²（x≠0），…①，用-$\frac{1}{x}$替换x得：3f（-$\frac{1}{x}$）+f（x）=$\frac{2}{{x}^{2}}$（x≠0），…②，联立方程组，消去f（-$\frac{1}{x}$）可得答案．

解答 解：∵f（x）满足3f（x）+f（-$\frac{1}{x}$）=2x²（x≠0），…①，
用-$\frac{1}{x}$替换x得：3f（-$\frac{1}{x}$）+f（x）=$\frac{2}{{x}^{2}}$（x≠0），…②，
①×3-②得：8f（x）=6x²-$\frac{2}{{x}^{2}}$（x≠0），
∴f（x）=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{1}{{4x}^{2}}$（x≠0）

点评 本题考查的知识点是函数解析的求法--方程组法，难度中档．